Lo invisible,
ahora observable.

Introducción

Los dispositivos electrónicos modernos —desde el diodo de unión hasta los procesadores con miles de millones de transistores— funcionan porque es posible controlar, con gran precisión, cuántos electrones y huecos móviles existen en un cristal y cómo responden a un campo eléctrico, a la luz o a la temperatura. Detrás de ese control se encuentra una magnitud que aparece en prácticamente todos los capítulos de la física de semiconductores: el nivel de Fermi. Conocer su posición dentro del diagrama de bandas de un material equivale a conocer, de forma compacta, su carácter eléctrico (tipo N, tipo P o intrínseco), su concentración de portadores y la dirección en que fluirán las cargas cuando dos materiales se ponen en contacto (Neamen, 2012; Streetman y Banerjee, 2015).

El nivel de Fermi no es una banda ni un estado físico del cristal; es un parámetro estadístico que surge de la distribución de Fermi–Dirac y que coincide con el potencial químico de los electrones. Esta naturaleza abstracta suele generar confusiones en quienes se inician en el tema: ¿puede el nivel de Fermi estar dentro de la banda prohibida, donde no existen estados disponibles?, ¿es lo mismo que la energía de Fermi?, ¿por qué es constante en equilibrio?, ¿por qué se desplaza con el dopaje y con la temperatura? El presente trabajo responde estas preguntas de manera progresiva, desde los fundamentos estadísticos hasta las aplicaciones en uniones PN, transistores y células solares.

El documento se organiza en ocho capítulos. Los capítulos 1 a 3 presentan el concepto, su historia, la estadística de Fermi–Dirac y la relación entre energía de Fermi, nivel de Fermi y potencial químico. El capítulo 4 clasifica los materiales según sus bandas de energía. El capítulo 5 desarrolla la relación entre el nivel de Fermi y las concentraciones de electrones y huecos en semiconductores intrínsecos y extrínsecos, así como su dependencia de la temperatura. El capítulo 6 sistematiza la representación gráfica mediante diagramas de bandas, el capítulo 7 analiza aplicaciones en dispositivos y el capítulo 8 discute su relevancia en la ingeniería de semiconductores actual. A lo largo del texto se incluyen ecuaciones con todas sus variables definidas, ejemplos numéricos resueltos y analogías didácticas. Las constantes y propiedades de los materiales empleadas corresponden a valores típicos a 300 K reportados en la literatura (Neamen, 2012); pueden diferir ligeramente entre fuentes, por lo que los resultados numéricos deben interpretarse como estimaciones de ingeniería.

Alcance y metodología

Esta revisión bibliográfica integra textos de física del estado sólido y dispositivos semiconductores con artículos históricos. Se desarrolla el modelo de bandas parabólicas y, salvo indicación contraria, equilibrio térmico, estadística no degenerada e ionización completa. Los ejemplos ilustran el modelo y no constituyen mediciones experimentales. Los valores de n_i se calculan con parámetros de banda coherentes; se explicitan las limitaciones ante degeneración, congelamiento e interfaces reales. Las figuras son esquemas y cálculos originales basados en las ecuaciones presentadas.

Objetivos

Objetivo general

Explicar, con rigor físico y matemático, el concepto de nivel de Fermi y su papel en la determinación de las propiedades eléctricas de los semiconductores y en el funcionamiento de los dispositivos semiconductores fundamentales.

Objetivos específicos

Definir el nivel de Fermi a partir de la distribución de Fermi–Dirac y distinguirlo de la energía de Fermi a 0 K y aclarar su relación con los potenciales químico y electroquímico.

Describir la posición del nivel de Fermi en conductores, aislantes y semiconductores intrínsecos y extrínsecos, relacionándola con las bandas de valencia y de conducción y con la banda prohibida.

Deducir y aplicar las expresiones que vinculan el nivel de Fermi con las concentraciones de electrones y huecos en equilibrio térmico.

Analizar la influencia de la temperatura y del dopaje sobre la posición del nivel de Fermi mediante ejemplos numéricos.

Representar e interpretar diagramas de bandas con el nivel de Fermi para materiales aislados y para uniones PN.

Aplicar el concepto a diodos, transistores y células solares, incluyendo la noción de cuasi-niveles de Fermi fuera del equilibrio.

Valorar la importancia del nivel de Fermi en el diseño y la ingeniería de dispositivos semiconductores modernos.

1.1 Concepto y definición del nivel de Fermi

En un sólido cristalino los electrones no pueden ocupar cualquier energía: solo disponen de ciertos estados cuánticos agrupados en bandas permitidas separadas por regiones prohibidas. Además, los electrones son fermiones, de modo que dos de ellos no pueden compartir el mismo estado cuántico (principio de exclusión de Pauli). Cuando muchos electrones se distribuyen entre los estados disponibles a una temperatura dada, la probabilidad de que un estado de energía E esté ocupado la describe la distribución de Fermi–Dirac (Kittel, 2005; Ashcroft y Mermin, 1976).

El nivel de Fermi, representado por EF, es el parámetro energético de esa distribución. Se define como la energía para la cual la probabilidad de ocupación vale exactamente un medio cuando la temperatura es mayor que cero. Dicho de otro modo, si en esa energía existiera un estado permitido, tendría la misma probabilidad de estar ocupado que de estar vacío. Desde el punto de vista termodinámico, el nivel de Fermi equivale al potencial químico de los electrones del sistema en equilibrio (Pierret, 1996; Sze y Ng, 2007).

Es esencial subrayar que EF no indica la existencia de un estado en esa energía. En un semiconductor puro el nivel de Fermi se ubica dentro de la banda prohibida, donde no hay estados permitidos; aun así, su posición es perfectamente significativa porque determina las probabilidades de ocupación de todos los estados de las bandas vecinas. En la práctica, el nivel de Fermi funciona como una "regla" energética: cuanto más cerca esté de la banda de conducción, mayor es la concentración de electrones libres; cuanto más cerca esté de la banda de valencia, mayor es la concentración de huecos.

Analogía didáctica. Imagine un edificio en el que solo existen ciertos pisos habitables. Los pisos representan los estados permitidos y los espacios sin pisos representan la banda prohibida. El nivel de Fermi es una referencia energética que permite calcular la ocupación de los pisos existentes; puede situarse entre ellos sin que exista un estado a esa altura. La analogía ilustra la diferencia entre estados y referencia, pero no sustituye la distribución estadística.

1.2 Antecedentes históricos y contribuciones de Enrico Fermi

Enrico Fermi (Roma, 1901 – Chicago, 1954) fue uno de los pocos físicos que alcanzó la excelencia tanto en teoría como en experimentación. La estadística que lleva su nombre nació en un contexto muy preciso. En 1925 Wolfgang Pauli formuló el principio de exclusión para explicar la estructura de las capas electrónicas del átomo y los espectros observados (Pauli, 1925). Fermi advirtió que, si ese principio era válido, debía aplicarse también a un gas ideal de partículas idénticas, y desarrolló la mecánica estadística correspondiente (Fermi, 1926). Casi simultáneamente, Paul Dirac llegó al mismo resultado al estudiar los conjuntos de partículas idénticas dentro de la naciente mecánica cuántica (Dirac, 1926). Por esta doble autoría la distribución se denomina estadística de Fermi–Dirac, y las partículas que la obedecen se llaman fermiones.

La aplicación al comportamiento de los electrones en metales fue inmediata. Arnold Sommerfeld sustituyó la estadística clásica de Maxwell–Boltzmann por la de Fermi–Dirac en la teoría de electrones libres de Drude y resolvió así dificultades como el pequeño calor específico electrónico de los metales (Sommerfeld, 1928). A partir de la teoría de bandas desarrollada a finales de los años veinte y en los treinta, el mismo formalismo se extendió a los semiconductores. En 1948 Bardeen y Brattain presentaron el transistor de contacto (Bardeen y Brattain, 1948) y en 1949 Shockley publicó la teoría de la unión PN y del transistor de unión (Shockley, 1949), trabajos en los que el concepto de nivel de Fermi y su constancia en equilibrio se convirtieron en herramientas centrales de análisis.

Fermi recibió el Premio Nobel de Física en 1938 por sus trabajos sobre reacciones nucleares inducidas por neutrones lentos, una contribución distinta de la estadística que lleva su nombre. Su legado en la física del estado sólido es, sin embargo, igualmente duradero: además de la estadística de Fermi–Dirac, el modelo estadístico de Thomas–Fermi para átomos con muchos electrones y los conceptos de energía, superficie y nivel de Fermi permanecen en el vocabulario de cualquier ingeniero de semiconductores. La Tabla 1 resume los hitos principales.

Tabla 1

Hitos históricos relacionados con el nivel de Fermi

Nota. Elaboración propia a partir de las fuentes indicadas.

2.1 Fermiones, estados disponibles y principio de exclusión

Las partículas con espín semientero (electrones, protones, neutrones) son fermiones y cumplen el principio de exclusión. Para describir un gas de electrones en un cristal es necesario conocer dos ingredientes: cuántos estados hay disponibles en cada intervalo de energía y con qué probabilidad está ocupado cada uno. El primero lo da la densidad de estados g(E), definida como el número de estados cuánticos por unidad de energía y por unidad de volumen; el segundo lo da la función de distribución f(E). El número de electrones por unidad de volumen en el intervalo de energía dE es g(E)f(E)dE, de modo que la concentración total de electrones es la suma de esa cantidad sobre todas las energías:

n = ∫ g(E) f(E) dE (1)

Para un gas de electrones libres de masa m en tres dimensiones, incluyendo los dos valores del espín, la densidad de estados es proporcional a la raíz cuadrada de la energía (Kittel, 2005):

g(E) = [1/(2π²)] (2m/ℏ²)^(3/2) √E (2)

donde ħ = h/2π es la constante de Planck reducida (J·s) y m la masa del electrón (kg). En un semiconductor, cerca de los bordes de banda, se emplean expresiones análogas con masas efectivas: gc(E) = 4π(2mn*)3/2√(E − Ec) / h3 para la banda de conducción y gv(E) = 4π(2mp*)3/2√(Ev − E) / h3 para la de valencia, donde mn* y mp* son las masas efectivas de densidad de estados de electrones y huecos (Neamen, 2012).

2.2 Origen de la distribución: argumento de multiplicidad

La distribución de Fermi–Dirac puede deducirse buscando la configuración más probable de N electrones repartidos entre niveles de energía Ei, cada uno con gi estados y ni electrones. Como cada estado admite a lo sumo un electrón, el número de maneras de colocar ni electrones en gi estados es un coeficiente binomial, y la multiplicidad total del sistema es el producto de esos coeficientes:

W = ∏ᵢ [gᵢ! / (nᵢ! (gᵢ − nᵢ)!)] (3)

Se maximiza ln W sujeto a dos restricciones: el número total de electrones (Σni = N) y la energía total (ΣniEi = U) son constantes. Se introducen los multiplicadores de Lagrange α y β, se aplica la aproximación de Stirling y se obtiene, para cada nivel, ln[(gi − ni)/ni] = α + βEi. Despejando la ocupación media por estado, ni/gi, resulta f(E) = 1/(eα+βE + 1). La identificación termodinámica de los multiplicadores conduce a β = 1/kT y α = −μ/kT, donde μ es el potencial químico (Kittel, 2005; Pierret, 1996). Al nivel de Fermi se le asigna entonces el valor EF = μ en el contexto de semiconductores.

2.3 La distribución de Fermi–Dirac y sus variables

Con el resultado anterior, la probabilidad de que un estado de energía E esté ocupado por un electrón en equilibrio térmico a la temperatura absoluta T es:

f(E) = 1 / {1 + exp[(E − E_F)/(kT)]} (4)

Las variables de la ecuación se definen en la Tabla 2.

Tabla 2

Variables de la distribución de Fermi–Dirac

Nota. Elaboración propia con base en Neamen (2012) y Kittel (2005).

2.4 Propiedades de la distribución

2.4.1 Comportamiento en T = 0 K

Cuando T tiende a cero, el exponente tiende a −∞ para E < EF y a +∞ para E > EF. Por tanto f(E) = 1 para todos los estados bajo el nivel de Fermi y f(E) = 0 para los estados sobre él: la distribución es una función escalón. Todos los electrones ocupan los estados de menor energía compatibles con el principio de exclusión.

2.4.2 Comportamiento para T > 0 K

A cualquier temperatura mayor que cero, evaluar la ecuación en E = EF da exp(0) = 1 y, por tanto, f(EF) = 1/2. La transición de 1 a 0 se "suaviza" en una franja de energía de unos pocos kT alrededor de EF; fuera de esa franja la distribución casi no cambia respecto del caso T = 0 K (Figura 1). La ocupación térmica de la banda de conducción debe calcularse combinando esta función con la densidad de estados. Las transiciones microscópicas requieren intercambio de energía, por ejemplo con la red cristalina.

Nota. Elaboración propia a partir de la ecuación de Fermi–Dirac. El eje horizontal mide la energía relativa al nivel de Fermi.

2.4.3 Simetría de la distribución

La función es simétrica respecto del punto (EF, 1/2): para cualquier desplazamiento x de energía se cumple

f(E_F + x) + f(E_F − x) = 1 (5)

Esta propiedad tiene una interpretación importante: la probabilidad de que un estado situado x por encima de EF esté ocupado es igual a la probabilidad de que un estado situado x por debajo esté vacío. Eso explica que la probabilidad de encontrar un hueco en la banda de valencia, 1 − f(E), tenga la misma forma matemática que la de encontrar un electrón en la banda de conducción, con el signo del desplazamiento invertido.

2.4.4 Aproximación de Boltzmann

Si E − EF es varias veces mayor que kT (en la práctica, mayor que aproximadamente 3kT), el término unitario del denominador es despreciable y la distribución se reduce a la estadística clásica de Maxwell–Boltzmann:

f(E) ≈ exp[−(E − E_F)/(kT)] (6)

De forma análoga, para EF − E > 3kT la probabilidad de ocupación tiende a 1. En semiconductores no degenerados el nivel de Fermi está dentro de la banda prohibida y suficientemente lejos de ambos bordes, por lo que esta aproximación es válida y permite obtener expresiones exponenciales simples para n y p (Neamen, 2012; Streetman y Banerjee, 2015).

Ejemplo 1. Probabilidad de ocupación a temperatura ambiente

Calcule la probabilidad de ocupación de un estado que se encuentra 0,10 eV por encima del nivel de Fermi y de otro 0,10 eV por debajo, a T = 300 K.

Solución. A 300 K, kT = (8,617 × 10⁻⁵ eV/K)(300 K) = 0,02585 eV. Para E − EF = +0,10 eV, el exponente es 0,10/0,02585 = 3,868 y e3,868 ≈ 47,8; luego f = 1/(1 + 47,8) ≈ 0,0205 (2,05 %). Para E − EF = −0,10 eV el exponente es −3,868, e−3,868 ≈ 0,0209 y f = 1/(1 + 0,0209) ≈ 0,9795 (97,95 %). Se verifica la simetría: 0,0205 + 0,9795 = 1,000.

3.1 La energía de Fermi

En la física del estado sólido, la energía de Fermi es la energía del estado ocupado más alto cuando el sistema se encuentra en el cero absoluto. Para un gas de electrones libres con concentración n, el principio de exclusión obliga a llenar los estados desde la energía mínima hasta una energía máxima. Integrando la densidad de estados hasta ese valor e igualando a n se obtiene (Kittel, 2005; Ashcroft y Mermin, 1976):

E_F(0) = [ℏ²/(2m)] (3π²n)^(2/3) (7)

En esta expresión, EF se mide en julios (o electronvoltios), ħ es la constante de Planck reducida (J·s), m es la masa del electrón (kg) y n es la concentración de electrones libres (m−3). Para los metales típicos la energía de Fermi es de varios electronvoltios, y la temperatura de Fermi asociada, TF = EF/k, es del orden de 10⁴ a 10⁵ K, muy superior a la temperatura ambiente.

Ejemplo 2. Energía de Fermi del cobre

El cobre aporta un electrón libre por átomo, con n = 8,47 × 10²⁸ m−3. Estime su energía de Fermi y su temperatura de Fermi.

Solución. Se calcula primero 3π²n = 29,61 × 8,47 × 10²⁸ = 2,508 × 10³⁰ m−3. Su raíz cúbica es 1,358 × 10¹⁰ m−1, y elevada al cuadrado resulta 1,844 × 10²⁰ m−2. El factor ħ²/2m vale 3,81 eV·Å² = 3,81 × 10⁻²⁰ eV·m². Entonces EF = (3,81 × 10⁻²⁰ eV·m²)(1,844 × 10²⁰ m−2) ≈ 7,0 eV. La temperatura de Fermi es TF = 7,0 eV / (8,617 × 10⁻⁵ eV/K) ≈ 8,1 × 10⁴ K. Como TF ≫ 300 K, el cobre a temperatura ambiente se comporta casi como si estuviera en T = 0 K, y su nivel de Fermi apenas se desplaza respecto de la energía de Fermi.

3.2 El nivel de Fermi a temperatura finita

Cuando T > 0 K el borde de ocupación deja de ser nítido y el "último estado ocupado" ya no está bien definido. Se mantiene, en cambio, el valor de energía en el que la distribución vale 1/2, que es el nivel de Fermi EF(T). En los metales EF(T) difiere muy poco de la energía de Fermi; en los semiconductores, en cambio, la posición del nivel de Fermi depende fuertemente de la temperatura y del dopaje, de modo que la distinción entre ambos conceptos es indispensable. En los libros de dispositivos semiconductores se emplea casi exclusivamente la expresión "nivel de Fermi" para referirse a EF(T), mientras que "energía de Fermi" se reserva para el valor en T = 0 K (Neamen, 2012).

3.3 Diferencias entre energía de Fermi y nivel de Fermi

Tabla 3

Comparación entre energía de Fermi y nivel de Fermi

Nota. Elaboración propia con base en Kittel (2005), Neamen (2012) y Pierret (1996).

3.4 Nivel de Fermi y potencial químico de los electrones

El potencial químico de una especie se define mediante la derivada de la energía libre de Helmholtz respecto del número de partículas, a temperatura y volumen constantes. Para partículas cargadas conviene distinguir el término químico del electrostático. En este trabajo, E_F designa el potencial electroquímico electrónico, expresado como energía y referido al mismo origen que los bordes de banda; la contribución electrostática ya está incluida en ese origen local de energía. En un sistema homogéneo sin variación de potencial electrostático, coincide con el potencial químico habitual.

μ = (∂F/∂N)_(T,V) (8)

donde F es la energía libre de Helmholtz (J) y N el número de partículas. Para un sistema de fermiones, el potencial químico es precisamente el parámetro μ que aparece en la distribución de Fermi–Dirac, de modo que EF = μ. Para un gas de electrones libres en tres dimensiones el desarrollo de Sommerfeld permite escribir, hasta segundo orden en kT/EF(0), (Ashcroft y Mermin, 1976):

μ(T) ≈ E_F(0) {1 − (π²/12)[kT/E_F(0)]²} (9)

Esta expresión muestra que el desplazamiento térmico del potencial químico en el modelo de electrones libres es pequeño cuando kT es mucho menor que E_F(0). En un dispositivo con potencial electrostático variable, el intercambio de electrones se rige por el potencial electroquímico. La función de trabajo se define como Φ = E_vac − E_F; esta diferencia debe calcularse con un origen energético común.

3.5 El nivel de Fermi en equilibrio térmico

El equilibrio termodinámico exige temperatura uniforme y ausencia de corrientes netas. Un estado estacionario con corriente no es un estado de equilibrio. En un semiconductor homogéneo, bajo transporte por deriva y difusión, estadística no degenerada y relación de Einstein, las corrientes se relacionan con los gradientes de los cuasi-niveles de Fermi. En equilibrio ambos cuasi-niveles coinciden con E_F y se obtiene

J_n = μ_n n (dF_n/dx) ; J_p = μ_p p (dF_p/dx) (10)

En la ecuación (10), las energías deben introducirse en julios: J_n y J_p están en A/cm², las movilidades μ_n y μ_p en cm²/(V·s), las concentraciones en cm⁻³ y x en cm. Si se usan valores energéticos en eV, se debe incluir la conversión a julios. En equilibrio, con portadores móviles y movilidades finitas, las corrientes nulas implican un nivel de Fermi espacialmente constante. Esta condición describe equilibrio electroquímico, además de térmico.

Analogía didáctica. Piense en dos recipientes comunicados por un tubo inferior. Aunque contengan cantidades distintas de agua y tengan formas diferentes, en equilibrio el agua alcanza el mismo nivel en ambos. El nivel del agua es el nivel de Fermi: dos materiales en contacto intercambian electrones hasta que su nivel de Fermi se iguala, aunque sus bandas queden desplazadas entre sí (por eso las bandas se "doblan" en una unión PN).

Fuera del equilibrio —por ejemplo bajo polarización o iluminación— ya no existe un único nivel de Fermi. Se introducen entonces dos cuasi-niveles de Fermi, Fn para electrones y Fp para huecos, que conservan la misma forma exponencial para las concentraciones pero con niveles distintos. Su separación mide el grado de desequilibrio, como se desarrolla en el Capítulo 7.

4.1 Formación de bandas y banda prohibida

Cuando los átomos se aproximan para formar un cristal, los niveles de energía discretos de cada átomo aislado interactúan y se desdoblan en un número enorme de niveles muy próximos entre sí, que forman bandas casi continuas. Entre dos bandas permitidas puede quedar un intervalo sin estados, llamado banda prohibida o brecha de energía, de ancho Eg = Ec − Ev. La banda de valencia contiene los estados de los electrones que forman los enlaces del cristal y su borde superior es Ev; la banda de conducción agrupa los estados disponibles para electrones libres y su borde inferior es Ec. Para que un material conduzca, debe haber estados vacíos accesibles a energías muy próximas a las de los electrones ocupados (Streetman y Banerjee, 2015).

4.2 Conductores

En un metal ordinario existe una banda parcialmente ocupada o un solapamiento de bandas, con estados accesibles cerca del nivel de Fermi. Las concentraciones electrónicas típicas son del orden de 10²²–10²³ cm⁻³. El campo eléctrico modifica ligeramente la distribución y produce corriente. La conductividad depende de la concentración y de la movilidad; en muchos metales la resistividad aumenta de forma apreciable con la temperatura debido a la dispersión por vibraciones de la red.

4.3 Aislantes

En el modelo ideal de un aislante de bandas, la banda de valencia está llena y la de conducción vacía a 0 K. Una brecha grande reduce fuertemente la generación térmica de portadores. El diamante tiene una brecha cercana a 5,5 eV, pero no existe un umbral universal de brecha que separe aislantes y semiconductores: el dopaje y las condiciones de operación también importan. La posición del nivel de Fermi dentro de la brecha depende de la neutralidad, los defectos y las impurezas; no tiene que coincidir con su centro. El factor exp[−E_g/(2kT)] aparece en la concentración intrínseca, no es por sí solo la probabilidad de una transición individual.

4.4 Semiconductores

Los semiconductores presentan bandas permitidas y una brecha cuya magnitud varía ampliamente entre materiales. Si, Ge y GaAs son ejemplos habituales; también existen materiales de banda ancha como SiC y GaN. En un semiconductor intrínseco ideal a 0 K no hay portadores térmicos en las bandas. A temperatura finita, la población de electrones y huecos depende de la brecha y la densidad de estados. El dopaje permite controlar las concentraciones. En el régimen no degenerado E_F está en la brecha, mientras que con dopaje suficiente puede penetrar en una banda. Bajo iluminación o polarización se requieren, en general, cuasi-niveles de Fermi.

Nota. Elaboración propia. Representación esquemática; las alturas no están a escala. Basado en Neamen (2012) y Streetman y Banerjee (2015).

Tabla 4

Comparación de conductores, semiconductores y aislantes

Nota. Elaboración propia con base en Neamen (2012) y Streetman y Banerjee (2015). Valores aproximados a 300 K.

5.1 Concentraciones de electrones y huecos en equilibrio

La concentración de electrones en la banda de conducción se obtiene integrando el producto de la densidad de estados gc(E) y la probabilidad de ocupación f(E) desde Ec hacia arriba. La concentración de huecos en la banda de valencia se obtiene integrando gv(E) por la probabilidad de que el estado esté vacío, 1 − f(E), desde Ev hacia abajo. En el caso no degenerado (Ec − EF > 3kT y EF − Ev > 3kT) las integrales se resuelven con la aproximación de Boltzmann y dan (Neamen, 2012; Pierret, 1996):

n₀ = N_c exp[−(E_c − E_F)/(kT)] (11)

p₀ = N_v exp[−(E_F − E_v)/(kT)] (12)

Las densidades efectivas de estados de las bandas de conducción y de valencia son

N_c = 2 [2πm_n* kT/h²]^(3/2) (13)

N_v = 2 [2πm_p* kT/h²]^(3/2) (14)

En las ecuaciones (11)–(14), n₀ y p₀ son concentraciones de equilibrio; N_c y N_v son densidades efectivas de estados. Las masas empleadas son masas efectivas de densidad de estados, que incluyen las degeneraciones pertinentes. Con h, k y masas en el SI, N_c y N_v resultan en m⁻³: para expresarlos en cm⁻³ se divide entre 10⁶. No se deben mezclar energías en eV con k expresado en J/K. Al aumentar E_F, la concentración electrónica crece exponencialmente y la de huecos disminuye. El producto de ambas es

n₀p₀ = N_cN_v exp[−E_g/(kT)] = n_i² (15)

La ecuación (15) es la ley de acción de masas en el modelo no degenerado y en equilibrio. Con parámetros de banda fijos, n₀p₀ depende del material y de T; para dopajes elevados pueden importar degeneración y estrechamiento de la brecha. Para que los ejemplos sean internamente consistentes, en silicio a 300 K se adoptan E_g = 1,12 eV, N_c = 2,8 × 10¹⁹ cm⁻³ y N_v = 1,04 × 10¹⁹ cm⁻³. Con k = 8,61733 × 10⁻⁵ eV/K, la ecuación (18) da n_i ≈ 6,68 × 10⁹ cm⁻³. Es un valor calculado dentro de este modelo simplificado, no una sustitución de las determinaciones experimentales de n_i. Los valores de Ge y GaAs de la tabla son también calculados con la misma ecuación.

Tabla 5

Propiedades típicas de materiales semiconductores a 300 K

Nota. Parámetros de banda y masas de referencia basados en Neamen (2012). n_i se calcula mediante la ecuación (18) para cada fila. Los valores son aproximaciones del modelo de bandas parabólicas; no representan un ajuste experimental de precisión.

5.2 Semiconductor intrínseco

Un semiconductor intrínseco es un cristal puro, sin impurezas ni defectos significativos. Cada electrón que pasa a la banda de conducción deja un hueco en la de valencia, de modo que n0 = p0 = ni. Igualando las expresiones de n0 y p0 y despejando el nivel de Fermi se obtiene la posición del nivel de Fermi intrínseco EFi (denominado también Ei):

E_i = (E_c + E_v)/2 + (kT/2) ln(N_v/N_c) (16)

El primer término de la ecuación (16) es el centro de la brecha; la corrección depende de la asimetría entre las densidades de estados. Para las masas de referencia del silicio a 300 K, E_i queda unos 13 meV por debajo del centro. En el semiconductor ideal, exactamente a 0 K, cualquier referencia dentro de la brecha reproduce la misma ocupación. El límite de E_i(T) al aproximarse a 0 K es central en este modelo si las masas permanecen finitas; al aumentar T la corrección proporcional a T no desaparece en general.

Con Ei como referencia, las concentraciones se escriben de forma muy útil para el análisis de dispositivos:

n₀ = n_i exp[(E_F − E_i)/(kT)] ; p₀ = n_i exp[(E_i − E_F)/(kT)] (17)

La concentración intrínseca depende de la temperatura de forma exponencial:

n_i = √(N_cN_v) exp[−E_g/(2kT)] (18)

Ejemplo 3. Posición del nivel de Fermi intrínseco en silicio

Determine la posición de Ei respecto del centro de la banda prohibida del silicio a 300 K, con mn* = 1,08 m0 y mp* = 0,56 m0.

Solución. Se usa la corrección (3/4)kT ln(mp*/mn*) con kT = 0,02585 eV. El cociente de masas es 0,56/1,08 = 0,5185 y su logaritmo natural vale −0,657. Entonces Ei − Ecentro = 0,75 × 0,02585 eV × (−0,657) ≈ −0,0127 eV. El nivel de Fermi intrínseco queda unos 13 meV por debajo del centro de la banda prohibida. La razón es que la masa efectiva de los electrones (1,08 m0) es mayor que la de los huecos (0,56 m0), de modo que Nc > Nv: para mantener n0 = p0, el nivel de Fermi debe alejarse de la banda de conducción, que dispone de más estados. El desplazamiento es solo cerca del 1 % de Eg.

5.3 Semiconductores extrínsecos: tipo N y tipo P

Un semiconductor extrínseco contiene impurezas introducidas deliberadamente (dopaje) en concentraciones típicas de 10¹⁴ a 10¹⁹ cm−3. En el silicio, los elementos del grupo V de la tabla periódica (fósforo, arsénico, antimonio) tienen cinco electrones de valencia: cuatro forman enlaces covalentes y el quinto queda débilmente ligado, con una energía de ionización de unas pocas decenas de meV (aproximadamente 0,045–0,054 eV). Estas impurezas se denominan donadoras y generan niveles Ed apenas por debajo de Ec. Los elementos del grupo III (boro, aluminio, galio) tienen tres electrones de valencia y aceptan un electrón de la banda de valencia; son aceptadoras y generan niveles Ea apenas por encima de Ev (Neamen, 2012; Streetman y Banerjee, 2015). A temperatura ambiente, kT ≈ 0,026 eV es comparable a estas energías, por lo que la ionización es casi completa.

Para obtener las concentraciones de equilibrio se impone la neutralidad de carga: la carga positiva total (huecos y donadores ionizados, Nd+) debe igualar la carga negativa total (electrones y aceptores ionizados, Na−):

p₀ + N_d⁺ = n₀ + N_a⁻ (19)

Con ionización completa (Nd+ = Nd, Na− = Na) y usando n0p0 = ni², resulta una ecuación cuadrática cuya solución para la concentración de electrones, válida con ionización completa y estadística no degenerada (tipo N, tipo P, compensado o intrínseco), es:

n₀ = (N_d − N_a)/2 + √{[(N_d − N_a)/2]² + n_i²} (20)

5.3.1 Semiconductor tipo N

En un semiconductor tipo N predominan los electrones (portadores mayoritarios) y los huecos son minoritarios. Con donadores completamente ionizados, compensación despreciable y Nd ≫ ni, se cumple n0 ≈ Nd y p0 ≈ ni²/Nd. Como n0 > ni, de la expresión n0 = ni exp[(EF − Ei)/kT] se deduce que E_{F} > E_{i}: el nivel de Fermi se desplaza hacia la banda de conducción, y lo hace tanto más cuanto mayor sea el dopaje:

E_F − E_i = kT ln(n₀/n_i) ; E_c − E_F = kT ln(N_c/n₀) (21)

Ejemplo 4. Nivel de Fermi de silicio tipo N

Una muestra de silicio a 300 K está dopada con Nd = 1 × 10¹⁶ cm−3 de fósforo. Calcule n0, p0, EF − Ei y Ec − EF.

Solución. Con ionización completa y dopaje no compensado, n₀ ≈ 1,00 × 10¹⁶ cm⁻³. Usando el valor no redondeado de n_i calculado con (18), p₀ ≈ 4,46 × 10³ cm⁻³. Se obtiene E_F − E_i ≈ 0,3676 eV y E_c − E_F ≈ 0,2052 eV. Su suma es E_c − E_i ≈ 0,5728 eV, coherente con E_i situado 0,0128 eV por debajo del centro de una brecha de 1,12 eV. La separación respecto de E_c supera 3kT, de modo que la aproximación de Boltzmann es adecuada.

5.3.2 Semiconductor tipo P

En un semiconductor tipo P predominan los huecos. Con aceptores completamente ionizados, compensación despreciable y Na ≫ ni, p0 ≈ Na y n0 ≈ ni²/Na. Ahora p0 > ni, por lo que E_{F} < E_{i}: el nivel de Fermi baja hacia la banda de valencia:

E_i − E_F = kT ln(p₀/n_i) ; E_F − E_v = kT ln(N_v/p₀) (22)

Ejemplo 5. Nivel de Fermi de silicio tipo P

Una muestra de silicio a 300 K tiene Na = 1 × 10¹⁷ cm−3 de boro. Determine p0, n0, Ei − EF y EF − Ev.

Solución. Con ionización completa y dopaje no compensado, p₀ ≈ 1,00 × 10¹⁷ cm⁻³ y n₀ ≈ 4,46 × 10² cm⁻³. Resulta E_i − E_F ≈ 0,4271 eV y E_F − E_v ≈ 0,1201 eV. La suma es E_i − E_v ≈ 0,5472 eV. Las posiciones no son simétricas respecto del centro de la brecha porque N_c y N_v difieren.

Si coexisten donadores y aceptores (compensación), lo que determina el carácter del material es la diferencia neta Nd − Na: si es positiva, el material es tipo N; si es negativa, tipo P, y la ecuación general anterior sigue siendo válida con las sustituciones adecuadas. Para dopajes muy altos (típicamente mayores que 10¹⁹–10²⁰ cm−3 en silicio) el nivel de Fermi alcanza o penetra en la banda correspondiente; el semiconductor es entonces degenerado, la aproximación de Boltzmann deja de valer y se comporta eléctricamente como un metal pobre. Esta condición se aprovecha en los contactos óhmicos y en el diodo túnel (Sze y Ng, 2007).

Analogía didáctica. Piense en una sala de cine. Las butacas inferiores (banda de valencia) están todas ocupadas y las superiores (banda de conducción) vacías; entre ellas hay un pasillo sin butacas (banda prohibida). El nivel de Fermi equivale a una "línea de reparto" que indica dónde se encuentra la mitad de la ocupación: en un material puro está en el pasillo central. Los donadores equivalen a espectadores adicionales que llegan sin entrada y ocupan butacas del piso superior, subiendo la línea de reparto; los aceptadores son butacas que se desocupan en el piso inferior y la bajan. Cuanto más espectadores añadimos arriba, más alta se ubica la línea.

5.4 Influencia de la temperatura sobre el nivel de Fermi

La temperatura actúa sobre el nivel de Fermi por tres vías: modifica la energía térmica kT, cambia el grado de ionización de las impurezas y modifica ni, que crece exponencialmente. En un semiconductor tipo N se distinguen tres regímenes (Pierret, 1996; Sze y Ng, 2007):

Régimen de congelamiento (T baja). Solo una fracción de los donadores está ionizada. El nivel de Fermi se encuentra entre Ed y Ec; en el límite T → 0, EF → (Ec + Ed)/2. Para temperaturas ligeramente mayores, EF = (Ec + Ed)/2 + (kT/2) ln[Nd/(2Nc)], de modo que desciende al aumentar T.

Régimen extrínseco (T intermedia). Todos los donadores están ionizados y n0 ≈ Nd, prácticamente constante. El nivel de Fermi cumple Ec − EF = kT ln(Nc/Nd) y desciende lentamente hacia el centro de la banda al aumentar T porque Nc crece como T3/2.

Régimen intrínseco (T alta). Cuando ni supera a Nd, los portadores generados térmicamente dominan sobre los aportados por el dopaje, n0 ≈ p0 ≈ ni y EF tiende a Ei. El material pierde su carácter extrínseco, lo que fija la temperatura máxima de operación de los dispositivos de un material dado.

Con ionización completa, el nivel de Fermi puede escribirse en forma cerrada para cualquier relación entre Nd y ni. Sea x = (EF − Ei)/kT; como n0 = niex y p0 = nie−x, la neutralidad de carga n0 − p0 = Nd se convierte en 2ni sinh x = Nd, y por tanto

E_F − E_i = kT asinh[N_d/(2n_i)] (23)

En el régimen extrínseco con ionización completa, ni es pequeño y arcsinh(Nd/2ni) ≈ ln(Nd/ni); para T alta, Nd/2ni → 0 y EF → Ei. La dependencia de ni con T es

n_i(T) = n_i(300)(T/300)^(3/2) exp{−[E_g/(2k)](1/T − 1/300)} (24)

Ejemplo 6. Variación del nivel de Fermi con la temperatura

Una muestra de silicio dopada con Nd = 1 × 10¹⁵ cm−3 se calienta de 300 K a 500 K. Suponiendo Eg constante e igual a 1,12 eV y ionización completa, calcule EF − Ei a ambas temperaturas.

Solución. A 300 K, n_i ≈ 6,68 × 10⁹ cm⁻³, kT ≈ 0,02585 eV y E_F − E_i ≈ 0,3081 eV. Con la ecuación (24), E_g constante e ionización completa, a 500 K se obtiene n_i ≈ 8,33 × 10¹³ cm⁻³ y kT ≈ 0,04309 eV. Entonces E_F − E_i ≈ 0,10⁷⁴ eV y n₀ ≈ 1,007 × 10¹⁵ cm⁻³. El nivel se aproxima a E_i al calentar, aunque a 500 K los electrones mayoritarios todavía están dominados por el dopaje. Para una predicción cuantitativa más precisa debe incorporarse E_g(T).

Nota. Elaboración propia con E_F − E_i = kT asinh[N_d/(2n_i)], N_d = 10¹⁵ cm⁻³, n_i calculado a 300 K y E_g = 1,12 eV constante. La gráfica solo representa el modelo con ionización completa; no describe congelamiento.

5.5 Relación entre el nivel de Fermi, las bandas y las concentraciones de portadores

La información de las secciones anteriores puede sintetizarse en la Tabla 6. La posición de EF respecto de Ec, Ei y Ev permite estimar de inmediato cuál portador domina y en qué orden de magnitud están n0 y p0. Obsérvese que desplazar el nivel de Fermi en 60 meV (≈ 2,3 kT a 300 K) multiplica una concentración por 10 y divide la otra por 10, una relación útil para estimaciones rápidas.

Tabla 6

Posición del nivel de Fermi y portadores en un semiconductor

Nota. Elaboración propia con base en Neamen (2012) y Streetman y Banerjee (2015).

6.1 Convenciones de un diagrama de bandas

El diagrama de bandas es una gráfica en la que el eje vertical representa la energía de un electrón y el eje horizontal representa la posición dentro del dispositivo. Cada línea horizontal indica un nivel característico: el borde inferior de la banda de conducción (Ec), el borde superior de la banda de valencia (Ev), el nivel de Fermi intrínseco (Ei), los niveles de impurezas (Ed, Ea) y el nivel de Fermi (EF). Entre Ec y Ev se encuentra la banda prohibida. Si se desea comparar materiales distintos, se añade el nivel de vacío Evac, energía de un electrón en reposo fuera del sólido. Con él se definen la afinidad electrónica χ = Evac − Ec y la función de trabajo φ = Evac − EF, ambas en eV (Sze y Ng, 2007).

La energía electrónica aumenta hacia arriba en el diagrama. En un material homogéneo de afinidad electrónica constante, el campo eléctrico se relaciona con la pendiente de E_c mediante ℰ = (1/q) dE_c/dx si E_c está en julios. Si se grafica el valor numérico de E_c en eV y x en cm, la pendiente tiene el mismo valor numérico que el campo en V/cm. Esta regla requiere cuidado en heterouniones: los saltos debidos a cambios de material no representan por sí solos un campo electrostático. Las tendencias de electrones y huecos deben interpretarse junto con difusión y ocupación estadística.

6.2 Procedimiento para construir el diagrama de un semiconductor

Dibuje Ec y Ev separados por Eg y marque Ei cerca de su punto medio.

Calcule la concentración de portadores mayoritarios a partir del dopaje y de la temperatura.

Obtenga EF − Ei = kT ln(n0/ni) para material tipo N, o Ei − EF = kT ln(p0/ni) para material tipo P.

Trace EF como línea horizontal a esa distancia de Ei. Verifique que se encuentra en la banda prohibida y, si no es así, revise si el semiconductor es degenerado.

Si hay varios materiales en contacto, alinee los niveles de Fermi en una misma línea horizontal (equilibrio) y determine la curvatura mediante electrostática y las discontinuidades mediante las propiedades de la interfaz. No suponga continuidad universal del nivel de vacío: pueden existir dipolos interfaciales.

6.3 Representación de la unión PN en equilibrio

Antes del contacto, el material tipo P tiene su nivel de Fermi cerca de la banda de valencia y el tipo N lo tiene cerca de la banda de conducción; es decir, los niveles de Fermi están a energías distintas. Al unir los materiales, los electrones se difunden desde la región N hacia la P y los huecos en sentido contrario. Se establece una zona de carga espacial formada por donadores y aceptores ionizados, que crea un campo eléctrico opuesto a la difusión. El intercambio neto cesa cuando el nivel de Fermi alcanza el mismo valor en todo el dispositivo. Lejos de la unión, en las regiones cuasineutras, el dopaje fija aproximadamente la separación entre el nivel de Fermi y las bandas; la igualación obliga a que las bandas de la región N queden a energía menor que las de la región P: el diagrama se "curva" en la zona de carga espacial (Figura 5).

Analogía didáctica. Las dos regiones son como dos terrazas a diferente altura conectadas por una rampa suave. Los electrones de la terraza alta (región P, donde son escasos) y los de la baja (región N, donde abundan) quedan separados por una "cuesta" cuya altura es qVbi. El nivel de Fermi, en cambio, es como el nivel del mar al que ambas terrazas están referidas: es uno solo para todo el paisaje.

7.1 Unión PN y potencial de contacto

La altura de la barrera de potencial que se forma en una unión PN en equilibrio es la diferencia entre los niveles de Fermi de ambos lados antes del contacto. Sumando la distancia de EF a Ei en cada región, que se calculó en el Capítulo 5, se obtiene el potencial de contacto (o potencial incorporado) (Neamen, 2012; Sze y Ng, 2007):

V_bi = (kT/q) ln(N_aN_d/n_i²) (25)

donde Vbi es el potencial de contacto (V), kT/q el voltaje térmico (≈ 0,02585 V a 300 K), Na y Nd las concentraciones de aceptores en el lado P y de donadores en el lado N (cm−3) y ni la concentración intrínseca (cm−3). El potencial de contacto no puede medirse con un voltímetro entre los terminales, porque en el circuito externo aparecen potenciales de contacto con los metales que lo cancelan; sin embargo, determina el ancho de la zona de carga espacial y el campo en la unión.

Ejemplo 7. Potencial de contacto de una unión PN de silicio

Una unión PN de silicio a 300 K tiene Na = 1 × 10¹⁷ cm−3 y Nd = 1 × 10¹⁶ cm−3. Calcule Vbi.

Solución. Para una homounión abrupta no degenerada, con dopantes totalmente ionizados, V_bi = 0,025852 ln[(10¹⁷)(10¹⁶)/(6,68 × 10⁹)²] ≈ 0,795 V. Con valores no redondeados, las separaciones de los ejemplos 4 y 5 suman aproximadamente 0,7948 eV, de modo que qV_bi = 0,7948 eV. El resultado depende del conjunto de parámetros y del modelo adoptados.

7.2 Diodo: polarización y cuasi-niveles de Fermi

Al aplicar un voltaje V a la unión, el sistema deja de estar en equilibrio y ya no hay un único nivel de Fermi. Se definen los cuasi-niveles de Fermi Fn (electrones) y Fp (huecos) de manera que las concentraciones conserven su forma exponencial:

n = n_i exp[(F_n − E_i)/(kT)] ; p = n_i exp[(E_i − F_p)/(kT)] (26)

Los cuasi-niveles son funciones locales y pueden tener gradientes cuando circula corriente. En el modelo ideal del diodo, con caída de tensión concentrada en la unión, baja inyección y contactos apropiados, se aproxima la separación relevante en la zona de agotamiento por F_n − F_p ≈ qV. En general, la identidad local es np = n_i² exp[(F_n − F_p)/(kT)]; solo bajo las hipótesis anteriores se sustituye su separación por qV. La ecuación ideal del diodo se obtiene al resolver además el transporte y la recombinación en las regiones correspondientes (Shockley, 1949).

I = I_s {exp[qV/(kT)] − 1} (27)

Aquí I es la corriente del diodo (A), Is la corriente de saturación inversa (A), q la carga elemental (C), V el voltaje aplicado (V), k la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta. La dependencia exponencial con V procede directamente de la forma exponencial de n y p en función de la separación de los cuasi-niveles de Fermi.

Nota. Esquema ideal de polarización directa: la separación de cuasi-niveles se aproxima por qV en la zona de agotamiento y la barrera por q(V_bi − V). Los gradientes de las regiones neutras se omiten; en un dispositivo real dependen de la corriente, recombinación y resistencias.

7.3 Transistores

7.3.1 Transistor bipolar de unión (BJT)

En un BJT NPN en modo activo directo, la unión base–emisor está polarizada en directa y la base–colector en inversa. El emisor se dopa mucho más que la base, de modo que su nivel de Fermi se acerca (o llega) a la banda de conducción. La polarización directa VBE separa los cuasi-niveles de Fermi en la unión emisor–base una cantidad qVBE, lo que reduce la barrera para los electrones del emisor y provoca una inyección masiva hacia la base. Como la concentración de portadores inyectados varía como exp(qVBE/kT), la corriente de colector depende de forma exponencial de VBE, IC ∝ exp(qVBE/kT), característica central del dispositivo (Streetman y Banerjee, 2015). El análisis original de este tipo de transistores se debe a Shockley (1949), a partir del dispositivo experimental de Bardeen y Brattain (1948).

7.3.2 Transistor MOSFET

En un MOSFET de canal N, el sustrato es de silicio tipo P. Se define la magnitud positiva del potencial de Fermi del sustrato tipo P como φ_Fp = (E_i − E_F)/q, usando energías en julios:

φ_Fp = (kT/q) ln(N_a/n_i) (28)

donde φFp se mide en voltios. Cuando se aplica una tensión positiva en la compuerta, las bandas del semiconductor en la superficie se curvan hacia abajo; Ei en la superficie se acerca a EF y, cuando la curvatura alcanza ψs = φFp, la superficie es intrínseca. Si la curvatura aumenta hasta ψs = 2φFp, la concentración de electrones en la superficie iguala a la de huecos en el volumen: comienza la inversión fuerte y se forma el canal. De este criterio proviene la contribución de 2φFp en el voltaje de umbral VT, que además incluye la caída en el óxido asociada a la carga de agotamiento, la diferencia de funciones de trabajo y las cargas del óxido; también puede depender del sesgo del cuerpo (Neamen, 2012; Sze y Ng, 2007).

Ejemplo 8. Potencial de Fermi y condición de inversión

El sustrato de un MOSFET de silicio a 300 K está dopado con Na = 1 × 10¹⁶ cm−3. Calcule φFp y la curvatura superficial de bandas ψs que marca el inicio de la inversión fuerte.

Solución. Con el conjunto coherente de parámetros usado en los ejemplos anteriores, φ_Fp = 0,025852 ln[10¹⁶/(6,68 × 10⁹)] ≈ 0,3676 V. El criterio convencional de inversión fuerte es ψ_s ≈ 2φ_Fp ≈ 0,7352 V. La energía E_i superficial desciende unos 0,7352 eV respecto de su posición en el volumen. Este potencial superficial no equivale, por sí solo, al voltaje de umbral aplicado a la compuerta.

7.4 Células solares

Una célula solar de unión PN convierte parte de la energía luminosa en energía eléctrica. La absorción de fotones puede generar electrones y huecos; estos llegan a los contactos por difusión y deriva antes de recombinarse. En circuito abierto, la generación y la recombinación se equilibran sin corriente externa neta. Las poblaciones fuera del equilibrio se describen mediante cuasi-niveles de Fermi. Bajo contactos selectivos ideales y pérdidas de transporte despreciables, su separación relevante se relaciona con qV_oc; en general, una separación medida en el interior no tiene por qué coincidir con el voltaje terminal.

Para una célula ideal, el voltaje de circuito abierto está dado por

V_oc = (kT/q) ln(I_L/I_0 + 1) (29)

En la ecuación (29), V_oc está en voltios. Deben usarse corrientes I_L e I_0 en amperios, o bien reemplazarse ambas por densidades J_L y J_0 en A/cm². En el régimen fotovoltaico convencional el voltaje útil es inferior a E_g/q por las pérdidas termodinámicas y de recombinación. No debe interpretarse esta observación como una prohibición universal de F_n − F_p > E_g: en semiconductores fuertemente inyectados puede alcanzarse inversión de población. El límite de Shockley–Queisser procede del balance detallado de absorción, emisión y extracción, y depende de la brecha, el espectro, la temperatura y la concentración óptica (Shockley y Queisser, 1961).

Ejemplo 9. Voltaje de circuito abierto de una célula de silicio

Una célula de silicio a 300 K genera IL = 35 mA/cm² bajo iluminación y su corriente de saturación es I0 = 1 × 10⁻¹² A/cm². Estime Voc y compárela con Eg/q.

Solución. IL/I0 = 0,035/10⁻¹² = 3,5 × 10¹⁰. Entonces Voc = 0,02585 V × ln(3,5 × 10¹⁰ + 1) = 0,02585 × 24,28 ≈ 0,628 V. Como Eg/q = 1,12 V, la célula utiliza algo más de la mitad de la brecha como fotovoltaje: la separación de los cuasi-niveles de Fermi es de 0,628 eV, inferior a Eg. Los datos son valores representativos, no corresponden a un dispositivo específico.

7.5 Otras aplicaciones

En un contacto metal–semiconductor ideal, sin estados ni dipolos de interfaz relevantes, el modelo de Schottky–Mott relaciona la altura energética de barrera con la función de trabajo del metal y la afinidad electrónica: Φ_Bn = Φ_m − χ, con todas las magnitudes expresadas como energías. Si se emplea una altura de barrera en voltios, debe distinguirse de la energía qφ_Bn. Las interfaces reales pueden presentar anclaje del nivel de Fermi. En LED, la inyección genera poblaciones capaces de recombinar radiativamente sin exigir universalmente una separación de cuasi-niveles mayor que la brecha. En láseres, la inversión y la ganancia requieren condiciones adicionales. En diodos túnel, el dopaje degenerado permite estados ocupados y vacíos alineados para el transporte por túnel (Sze y Ng, 2007; Streetman y Banerjee, 2015).

Para un ingeniero de semiconductores, el nivel de Fermi no es un concepto meramente teórico: es una variable de diseño y de diagnóstico. Cada decisión relacionada con el dopaje, los materiales de contacto o la temperatura de operación se traduce, en última instancia, en una posición del nivel de Fermi respecto de las bandas. Entre los ámbitos donde esta relación es crítica se encuentran los siguientes:

Control del dopaje y de los procesos de fabricación. La implantación iónica, la difusión y el recocido buscan lograr concentraciones de portadores específicas y, por tanto, niveles de Fermi específicos. La resistividad, la profundidad de unión y la uniformidad de las obleas se caracterizan midiendo magnitudes que se relacionan con EF.

Ajuste del voltaje de umbral. En los transistores MOS modernos, VT se sintoniza mediante el dopaje del canal y mediante la elección de la función de trabajo del metal de compuerta, que equivale a elegir la posición de EF del electrodo respecto de las bandas del semiconductor (Sze y Ng, 2007).

Ingeniería de contactos. Una resistencia de contacto baja exige barreras Schottky pequeñas o dopajes degenerados en la interfase, es decir, desplazar EF hacia dentro de las bandas. El anclaje del nivel de Fermi en las interfases limita la libertad de elegir metales.

Heterouniones y semiconductores de banda ancha. En estructuras con varios materiales (GaAs/AlGaAs, SiC, GaN) el diagrama de bandas de equilibrio se construye igualando los niveles de Fermi y incorporando discontinuidades de banda y propiedades de la interfaz; la regla de afinidades es un modelo ideal, no una condición universal. La dificultad de dopar ciertos materiales de banda ancha limita el control de EF.

Simulación y modelado de dispositivos. Los simuladores de dispositivos (TCAD) resuelven las ecuaciones de Poisson y de continuidad empleando las concentraciones de portadores en función de EF o de los cuasi-niveles de Fermi, incluyendo estadística de Fermi–Dirac cuando el dopaje es alto.

Dependencia térmica y confiabilidad. Como EF se desplaza con T, los parámetros del dispositivo (voltaje de umbral, corriente de fuga, ganancia) varían con la temperatura. El diseño de circuitos para entornos extremos o de alta potencia requiere considerar este efecto y la aparición de la conducción intrínseca a altas T.

Energía y optoelectrónica. La separación de cuasi-niveles de Fermi determina el rendimiento de células solares, LED y láseres, de modo que el análisis del nivel de Fermi se emplea tanto para entender las pérdidas como para proponer arquitecturas mejoradas.

En conjunto, dominar el concepto de nivel de Fermi permite al ingeniero pasar de la descripción cualitativa de un dispositivo ("hay más electrones aquí que allá") a la predicción cuantitativa de su comportamiento, y constituye la base conceptual para estudiar temas más avanzados como la física de dispositivos de dimensiones nanométricas o la electrónica de potencia.

El nivel de Fermi es el parámetro energético de la distribución de Fermi–Dirac y equivale al potencial químico de los electrones; en E = EF la probabilidad de ocupación es 1/2 para cualquier T > 0 K. No exige la existencia de un estado permitido en esa energía.

La energía de Fermi (valor en T = 0 K) y el nivel de Fermi (valor a T > 0 K) coinciden prácticamente en los metales, pero en los semiconductores el nivel de Fermi depende de manera significativa de la temperatura y del dopaje.

La estructura de bandas y su ocupación permiten interpretar la conducción. No hay una frontera universal de brecha entre aislantes y semiconductores; en estos últimos, el dopaje puede llevar E_F dentro de una banda.

Con la aproximación de Boltzmann, n0 = Nc exp[−(Ec − EF)/kT] y p0 = Nv exp[−(EF − Ev)/kT]. De ellas se deduce la ley de acción de masas n0p0 = ni², y expresiones simples para EF − Ei en material tipo N y tipo P.

Al aumentar la temperatura, el nivel de Fermi de un semiconductor extrínseco tiende hacia E_i cuando la generación intrínseca domina sobre el dopaje; el material pasa de comportamiento extrínseco a intrínseco.

En equilibrio térmico el nivel de Fermi es constante en todo el sistema. Esta regla explica la curvatura de las bandas en uniones PN y contactos, y permite calcular el potencial de contacto Vbi = (kT/q) ln(NaNd/ni²).

Fuera del equilibrio se emplean cuasi-niveles de Fermi; su separación determina la corriente del diodo, la inyección en transistores y el fotovoltaje de las células solares.

El nivel de Fermi es una herramienta práctica del diseño de dispositivos modernos: orienta decisiones de dopaje, selección de metales de compuerta y de contacto, simulación y análisis de confiabilidad.

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Tabla 7

Símbolos utilizados

Nota. Elaboración propia.

Tabla 8

Constantes físicas

Nota. Valores de referencia en el SI. Se usa k = 8,61733 × 10⁻⁵ eV/K en los cálculos y q = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ C. Las diferencias pequeñas de las últimas cifras corresponden al redondeo.